為何說3+4等于5?小學生都會算的題目,怎麼難倒眾多數學家的?

為何說3+4等于5?小學生都會算的題目,究竟是怎麼難倒眾多數學家的?
問3+4在什麼情況下等于5,這個問題好像趙本山小品中搞笑的腦筋急轉彎一樣,因為就連小學生都知道3+4等于7,而且毫無疑問是脫口而出。但是如果我告訴你3+4可能會等于7,你是不是覺得我的腦子壞了。

但這卻是困擾數學家的一個問題,許多數學家撓破頭都難以解釋清楚的問題,而且這與我們日常所見的樓梯有關,所有又被稱為樓梯悖論。我們每天都可能走上走下的樓梯,竟然暗藏數學悖論,實在讓人覺得不可思議。
從單純的算術上我們的確看不出任何3+4會等于7的可能性,但是如果把問題放在幾何圖形當中,就展現出了不一樣的情況。為了方便理解,我們先在圖上畫一個最基礎的二階樓梯橫截面,設定這個樓梯橫截面的水平寬度為4,垂直的高度是3的話,那麼整個樓梯的長度是多少呢?

通過分割的方法我們可以將這個二階樓梯橫截面中,兩個樓梯台階的橫向線段看成是整個水平寬度的各二分之一,兩個樓梯台階的縱向線段,也可以看成是垂直高度的各二分之一。這樣的話,這個二階樓梯的長度就剛好等于水平寬度的4,加上豎直高度的3,樓梯的長度也就為7。而且不光是二階,我們畫一個4階的樓梯橫截面也是同樣道理,只是將水平方向的距離和豎直方向的高度各看成四等份,樓梯的長度相加依然滿足3+4等于7。
而且即使再增加更多的台階數,通過分割的方法樓梯的長度都滿足3+4,所以到這里一切都很正常,但是如果樓梯水平寬度和高度都保持不變,但是樓梯的台階數無限增多的話,樓梯的長度就接近于直線,3+4等于5的困惑也就隨之而來。

3+4等于5是如何算出來的,樓梯悖論中無限增多的台階數,為何會造成3+4等于5的困惑?
當我們預先設置的樓梯水平寬度和垂直高度一直保持的是4和3,那麼隨著台階數的增加,根據分割法算出的樓梯長度也一直是3+4之和。但是如果樓梯台階數接近無限的狀況下,便形成了一條直線,樓梯的橫截面也從不規則的多邊形變成了直角三角形。
那麼三角形就可以符合勾股定理,無論是通過斜邊長度的平方,等于兩個直角邊的平方之和來開根號計算,還是通過直接背誦勾三股四弦五的特定勾股數,都能得出這個直角三角形的斜邊長是5。

那麼問題也就隨之而來,利用分割法推理得出的樓梯長度應該是3+4,而3+4根據最基本的數學公理就是等于7,但是根據勾股定理算出的樓梯長度卻是5,并且勾股定理從古至今也被全世界各國用了400多種方法證明過,是最基本的數學定理。
而樓梯的長度就在那里,無論用什麼方法算都是同一個樓梯,為何會出現3+4等于5這樣奇怪的現象呢?而且這根本不是因為精確度的問題造成的誤差現象,也一度讓數學家感到難以解釋。
難道我們的數學世界就因為這個問題而要崩塌了嗎?雖然這個問題并不會直接影響我們的實際生活,畢竟現實生活中不會需要建設一條無限個台階的樓梯。我們日常上下樓梯時 ,也不會因為這個悖論而受到什麼影響。

但是這樣的悖論問題直接影響整個人類的邏輯思維,和辛苦建立起來的現代數學體系。未來人類勢必會走向太空和宇宙,所要面臨的空間尺度不是現在日常生活能夠想象的,如果不能很好地解決這樣的問題,就表明現代數學體系有可能會存在問題,那麼未來有如何在這樣的體系上發展更高的科技呢?不過好在最終這個問題被發現是個陷阱,能不能理解就要看你的空間想象能力了。
3+4等于5的奇怪樓梯悖論,是如何創造出來的秘密終于被揭開,那悖論的陷阱究竟設在哪里?

當一個水平寬度和垂直高度固定為4和3的樓梯,台階數接近于無限時,通過分割法算出的樓梯長度是3+4應該等于7,而把樓梯長度看做是一個三角形的斜邊算出來的長度便是5,但是這個樓梯悖論的問題,就恰恰出在這個「看做是」三個字之上。
因為其實這兩個方法所算出的長度并不是一個長度,為了更好地理解我們將計算模型再倒回二階樓梯橫截面,如果從樓梯左側最高點向右下方最低點連一條直線,那麼這條直線的長度用勾股定理算出來的應該是5,也就是那個讓我們非常費解的5。

這時樓梯展現出來的長度根據分割法計算出來的應該是3+4等于7,并且這時不會有人認為這個連線長度的5,和樓梯長度的7有什麼關系,因為他們看起來完全不同。而這個長度為5的斜邊,我們不將其擦除的話,隨著樓梯台階數的不斷增多,樓梯的長度在肉眼上也會無限接近于這個兩點之間的連線。
但是如果能夠放大的話,就會發現當樓梯長度表面上無限接近三角形斜邊長度,但是內部仍然是由橫向和縱向的無數個細小分割線段組成。就像一根較長的毛線,經過不斷的細小彎折,放在一段較短的線段長度內,實際拉直的話長度會更長。所以實際上樓梯的長度,一直就是7,兩點之間斜線的距離也一直是5都沒有變化,變化的是樓梯的形狀通過微小的彎折蜷縮在了一起。

所以即使放在這個樓梯悖論中,3+4也不應該等于5,但是這麼解釋的話并不是所有人都能理解,因為無限多是無法直接展示出來的,全靠空間想象能力。不過即使覺得不能理解也沒有關系,可以將這個有趣的3+4等于5的樓梯悖論分享給身邊的朋友。或許他們會和你一樣的困惑,也有可能會有更好的方法解答你心中的疑問。


[圖擷取自網路,如有疑問請私訊]

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